Diplomat Ahmet Naci Kenter ile Olga Cynthia çiftinin beşinci ve en küçük çocuğu olarak 1932'de İstanbul'da dünyaya gelen Kenter, ilk öğrenimini Ankara'daki Çankaya İltekin İlkokulu'nda tamamladı. 1947'de Ankara Devlet Tiyatrosu çocuk bölümünde oyunculuğa başlayan sanatçı, 1950'de girdiği Devlet Konservatuvarı Tiyatro Bölümünü 1955'te yüksek derece ile bitirdi ve mezuniyetin ardından başladığı Ankara Devlet Tiyatrosunda 1959'a kadar görev yaptı. Tiyatro sahnesine "Oğuz Ata" ile başlayan, 1959'da Devlet Tiyatrosundan usta oyuncu İstanbul'a giderek, kardeşi Yıldız Kenter ve Muhsin Ertuğrul ile Küçük Sahne'de oyunlar sergiledi.

Kenter kardeşler, Şükran Güngör ve Kamuran Yüce ile bu dönemde bir araya geldi ve dörtlü olarak uzun yıllar tiyatro yaptılar. Kent Oyuncuları topluluğunu oluşturan Kenterler, "Site Tiyatrosu" adıyla 1959-1960 sezonunda, Ertuğrul yönetiminde oyunlar sahneledi. İlk olarak Amerikalı yazar William Gibson'un "Salıncakta İki Kişi" adlı oyununu sergileyen topluluğun çekirdek kadrosunda, Yıldız ve Müşfik Kenter ile Genco Erkal, Şükran Güngör ve Sadri Alışık yer alıyordu.

Kenter Tiyatrosu için tüm paralarını ortaya koyan Kenter kardeşler ve Şükran Güngör, büyük bir turne düzenleyerek Anadolu'yu gezdi. Müşfik Kenter, yaptığı açıklamada, "Çok çeşitli oyunlar oynadık gerçekten. Dünyada bu kadar çeşitli oyun oynayan oyuncu pek yoktur. Kendi tiyatromuzu yaratmak için ilk önce kendi yazarlarımızın oyunlarını oynamamız gerekiyor. Bütün Anadolu'yu dolaştık. Çok ucuz şeyler de yapabilirdik ama yapmadık."

İngiliz Kültür Heyeti ve Rockefeller'den burs alarak Amerika ve İngiltere'de tiyatro araştırmaları yapan Kenter, İngiltere, Amerika, Fransa ve Almanya'nın da aralarında bulunduğu birçok ülkede sahneye çıktı. Usta oyuncu, William Shakespeare, Anton Pavloviç Çehov, Maksim Gorki, Bertolt Brecht, Eugene Ionesco, Harold Pinter, Edward Albee, Arthur Miller gibi yazarların oyunlarını sahneye koydu ve bu eserlerde kendisi de rol aldı.

Müşfik Kenter, "Hamlet", "Cyrano de Bergerac" ve "Sustalı Mack" gibi tiyatro edebiyatının önemli rollerini sahneye başarıyla taşıdı. Müşfik Kenter, Murathan Mungan'ın Orhan Veli şiirleri ile düzenlediği "Bir Garip Orhan Veli" oyununu 30 yıldan uzun süre sahneledi. Ayrıca, yerli ve yabancı filmlerle belgesel ve reklamlarda seslendirme yaptı.

Tiyatronun yanı sıra sinema oyunculuğuna da önem veren Kenter, "Rumuz Goncagül", "Piano Piano Bacaksız", "Hayallerim, Aşkım ve Sen" gibi birçok filmde rol aldı. Kenter ayrıca, "Avrupa Yakası", "Mevlana Aşkı Dansı", "Sessiz Gemiler" gibi televizyon dizilerinde de oynadı.

Müşfik Kenter, ilk kez 1966'da "Bozuk Düzen" filmiyle 3. Antalya Film Şenliği'nde "En İyi Erkek Oyuncu" ödülünü kazanırken birçok ulusal ve uluslararası ödülün de sahibidir. Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi Devlet Konservatuvarından emekli olan usta oyuncu, Haliç Üniversitesi Konservatuvarı Tiyatro Bölümü Başkanlığı ve Bakırköy Belediyesi Şehir Tiyatrosu Genel Sanat Yönetmenliği yaptı.