Ocak 1874'te matematikçi Georg Cantor, uzunluğu 1 birim olan bir doğru üzerindeki noktaların, kenar uzunluğu 1 birim olan bir karedeki noktalarla örtüşüp örtüşmeyeceğini merak etti. Başlangıçta cevabın açıkça "Hayır!" olduğunu düşündü ancak bir şekilde ispat istiyordu. Ağustos 1874'te Vally Guttmann ile evlendiğinde hâlâ bu problem üzerinde çalışıyordu ve balayı döneminin çoğunu arkadaşı ve meslektaşı matematikçi Richard Dedekind ile bu problemi tartışarak geçirdi.

Üç yıl sonra Cantor, bir doğru üzerindeki noktalar ile bir kare üzerindeki noktalar arasında birebir örtüşme olduğunu fark etti. Bunu görmek için karedeki her noktanın koordinatlarını iç içe geçirerek doğru üzerinde karşılık gelen bir nokta elde etti. Örneğin, (0.216, 0.750) koordinatlı nokta, doğru üzerindeki 0.271560 sayısıyla eşleştirilir. Bu kuralın, karedeki noktalar ile doğru üzerindeki noktalar arasında bir birebir örtüşme sağladığı ve karedeki noktaların kümesinin kardinalitesinin doğru üzerindeki noktalarınkiyle aynı olduğu sonucu çıkarılır. 1 birim uzunluğundaki doğrunun ve kenarı bir birim uzunluğunda olan karenin sonsuz noktadan oluştuğunu düşünürsek bu bizi Cantor'un sonsuzluk kıyaslamasını nasıl yaptığı sorusuyla baş başa bırakır.

Matematikte Sonsuzluk Nedir?
Sonsuzluk, matematikte kesin bir sayısal değer olarak kabul edilmez. Bunun yerine sınırsız nicelikler fikrini tanımlamak için kavramsal bir araç görevi görür. Matematikçiler sonsuzluğu, sonsuz büyüme veya sonsuz küçülme gösteren matematiksel fonksiyonların ve serilerin davranışını ifade etmek için kullanırlar. Örneğin limit hesaplamalarında lim(x→∞)1/x=0 gösteriminde x sonsuza giderken 1/x değeri sıfıra yaklaşır. Sonsuzluk aynı zamanda Küme Teorisi'nde kullanılır. "Lemniscate" olarak da bilinen sonsuzluk simgesi, matematikte sınırsızlığı ve sonsuzluğu temsil eder. Bu sembol matematiksel olarak ilk kez 17. yüzyılda matematikçi John Wallis tarafından ortaya atılmıştır.

Küme Teorisi
Küme kavramı ilk defa Georg Cantor (1845-1918) tarafından sonsuz büyüklükleri tanımlamak ve karşılaştırabilmek amacıyla ortaya atılmıştır. Cantor'un "sonsuz ötesi sayılar" fikri sezgilerimizle ters düştüğü için zamanın matematikçileri tarafından yoğun bir şekilde eleştirilmiştir. Cantor, reel sayılar sonsuz kümesinin tam sayılar sonsuz kümesinden büyük olduğunu söylemiş olup Henri Poincare, Cantor'un fikirlerini "matematiği istila eden korkunç bir hastalık" olarak nitelendirmiştir. Leopold Kronecker ise Cantor'u şarlatanlıkla suçlamıştır. Cantor'un 1884'ten hayatının sonuna kadar yaşadığı depresyon nöbetlerinin, kısmen bu saldırılardan kaynaklandığı iddia edilmişse de nöbetlerin asıl sebebi muhtemelen bipolar bozukluktur. Öte yandan matematikçi David Hilbert, Cantor'un bu çalışmalarını "matematiksel dehanın en zarif ürünlerinden ve saf insan zekasının varabileceği en yüce noktalardan biri" olarak tasvir etmiş ve bu yepyeni matematiksel dünyaya "Cantor'un Cenneti" adını vermiştir.

Bazı kümeler sonlu, bazı kümelerin sonsuzdur. Örneğin {3,21,36} kümesi sonludur ancak N doğal sayılar kümesi sonsuzdur. Sonlu bir kümede, kümenin her elemanına 1'den başlayarak ardışık numaralar verilir ve verilen en son numara kümenin eleman sayısıdır.

Peki bir kümenin sonsuz olması ne demektir? Sonsuz bir kümenin eleman sayısı ne olabilir? Sonlu olmayan küme, sonsuzdur. Bu durumda doğal sayılar kümesi olan N gibi, reel sayılar kümesi yani R de sonsuzdur. Peki bu sonsuzluklar kıyaslanabilir mi? İki küme de sonsuzsa aynı büyüklükte midir? Her doğal sayı, bir tam sayıdır ancak her tam sayı, bir doğal sayı değildir. Dolayısıyla daha fazla tam sayı varken "Doğal sayı kadar tam sayı vardır!" demek doğru mudur?

Bu çelişkiyi ilk olarak Galileo farketmiş ve 0, 2, 4, 6, 8,... gibi çift sayıları ikiye bölerek 0, 1, 2, 3, 4,... gibi doğal sayılarla eşleştirmiş, böylece çift sayılarla doğal sayıların aynı sayıda olmaları gerektiğini görmüştür. Böylece Galileo sonsuzlukla yapılan aritmetiğin bambaşka türden bir aritmetik olması gerektiği sonucuna varmıştır.

Uzunca bir süre alt kümelerin, üst kümelerden daha az sayıda elemanı olduğu düşünüldü. İlk kez Öklid tarafından yazılı olarak ifade edilen "parça bütününden küçüktür" düşüncesi, 19. yüzyılın sonuna kadar yaygındı. 19. yüzyılın sonunda Cantor, bugün herkes tarafından değeri ve doğruluğu kabul edilen ama zamanında büyük tartışmalara neden olan sonsuzluk ve sonsuzlukta büyüklük-küçüklük tanımını getirmiştir. Bunu belirleyen sayılabilirlik ve sayılamazlık kavramlarını, sonlu kümeler sayılabilir olduğundan sonsuz kümeler üzerinden inceleyeceğiz.

Sayılabilir Sonsuzluk
6'dan yukarı sayamayan aritmetiği zayıf bir kabilenin, reis olarak en fazla büyükbaş hayvana sahip olanı seçtiğini düşünelim. Bu kabilenin üyeleri hayvanları nasıl sayardı? Aslında saymaya gerek olmadan hayvanları karşılaştırmak, bir anlamda eşleştirmek yeterlidir. İki adayın hayvanları yan yana iki ağıla konulur. Sonra ağıllardan hayvanlar birer birer çıkarılır. Ağılı ilk boşalan seçimi kaybeder. Ağıllar aynı anda boşalırsa adayların aynı sayıda hayvanı var demektir. Peki, diyelim ki her iki adayın da sonsuz sayıda hayvanı var. Her ikisi de hayvanlarını 1, 2, 3,... diye numaralandırmışlar. Kimin daha fazla hayvanı olduğunu aynı yöntemi kullanarak bulmaya çalıştıklarını düşünelim. Birinci aday hayvanlarını numaralarına göre 1, 2, 3,... sırasıyla çıkarsın. İkinci aday hile yaparak 1 numaralı hayvanını kenarda tutup hayvanları 2, 3, 4,... sırasıyla çıkarsın. Böylece birinci adayın nnn. hayvanı, ikinci adayın (n+1) hayvanıyla eşleşir. Tüm hayvanlar çıktığında ikinci adayın ağılında ilk hayvan kalır ve aday seçimi kazanır.

Eğer iki kümenin elemanlarını hiçbiri dışarıda kalmayacak şekilde (yani hile yapmadan) birbiriyle eşleyebiliyorsak bu iki kümenin aynı sayıda elemanı vardır deriz. Şimdi matematiksel ifadelerle anlatırsak AAA kümesi boş (boş küme sayılabilirdir çünkü sonludur) veya sonsuz elemana sahip herhangi bir küme ise ve N'den AAA'ya birebir eşleme (hem birebir hem de örten) bir fonksiyon varsa AAA kümesi sayılabilir sonsuz bir kümedir.

Sayılamaz Sonsuzluk
Sayılamaz olmayan bir küme sayılamaz sonsuzlukta bir kümedir. Bunu reel sayılarda (0,1) aralığını inceleyerek kolayca anlayabiliriz. 0 ve 1 arasında sonsuz reel sayı vardır. N'den (0,1) aralığına örten bir fonksiyon tanımlanamayacağından birebir eşleme gerçekleşmez. Dolayısıyla (0,1) aralığı sayılamaz sonsuzluktadır.

Sonsuzlukla İlgili Ünlü Paradokslar
Sonsuzluk kavramı, hem matematikte hem de felsefede insan aklının sınırlarını zorlayan bir olgu olarak karşımıza çıkar. Sonsuzluk, nicel olarak ölçülemeyen ve sonu olmayan bir büyüklüğü ifade etmekle birlikte bu kavramı somutlaştırmaya çalıştığımızda, sezgilerimizle çelişen sonuçlar ortaya çıkar. Dolayısıyla tarih boyunca birçok düşünür ve matematikçi, sonsuzluğu daha iyi anlamak adına çeşitli paradokslar üretmiştir. Bu paradokslar; sınırsız bir dizinin, hareketin ya da kümenin mantıksal sonuçlarını gözler önüne sererken aynı zamanda matematiğin sınırlarını da sorgulatır.

Zeno’nun Aşil ve Kaplumbağa Paradoksu
Zeno paradoksu, hızlı Aşil ile yavaş hareket eden bir kaplumbağa arasındaki yarışı konu alır. Kibirli Aşil, kaplumbağanın önde başlamasını ister. Zeno, kaplumbağanın başlangıçta önde olması nedeniyle Aşil'in kaplumbağaya asla yetişemeyeceğini savunmuştur. Aşil kendisi ile kaplumbağa arasında kalan mesafenin yarısını kat ettikçe kaplumbağa da uzaklaşacaktır. Bunun sonucunda sonsuz sayıda aralık nedeniyle aralarındaki mesafe hiç bitmeyecekmiş gibi görünecektir.

Hilbert'in Otel Paradoksu
Sonsuz otel paradoksu, sonsuzluk paradokslarının ünlü bir örneğidir. Bu paradoksa göre sonsuz sayıda odası ve konuğu olan bir otel bulunur. Bu otelde tüm odalar her zaman doludur fakat yeni gelen bir konuğa oda bulunabilir. Yeni konuğa yer açmak için otel sahibi birinci odadaki konuktan ikinci odaya, ikinci odadaki konuktan üçüncü odaya geçmesini ister ve bu böyle sürer. Otel, sonsuz sayıda odası olduğu için her zaman daha fazla konuğu ağırlayabilir. Tüm odalar dolu olsa bile son oda yoktur. Bu da oda sayısının sınırsız olduğunu gösterir.

Sonunda Kardinalite!
Gördük ki sonlu kümelerde olduğu gibi sonsuz kümelerin büyüklüğü de tanımlanabiliyor. Sonlu kümelerdeki kardinaliteyi (eleman sayısını) sonsuz kümelere genişletelim. Sonsuz iki kümemiz AAA ve BBB olmak üzere aralarında birebir eşleme sağlanabiliyorsa bu kümeler birbirine denk olur. A ve B aynı kardinaliteye sahiptir denir. |N|=ℵ0 ve |R|=c (continuum kardinali) şeklinde gösterilen kardinal sayılar vardır. ℵ sembolü aleph şeklinde okunur ve İbranice alfabesinin ilk harfidir. ℵ'in 0'a indekslenerek yazılmasının nedeni ise ilk sonsuz kardinal sayı olmasıdır. N⊂R olduğundan ℵ0<ℵ<c dir. Cantor Teoremi'ne göre herhangi bir A kümesinin kardinalitesi A'nın kuvvet kümesinin kardinalitesinden küçüktür. Dolayısıyla ℵ ve c'den farklı kardinaliteye sahip sonsuz kümeler vardır. O halde sonsuzluklarının büyüklüğü sıralanabilen sonsuz kümeler vardır.