Düşünüyorum, öyleyse varım! sözünü duymayanımız yoktur. Bu açıdan filozof yönüyle tanıdığımız Rene Descartes, bir noktada "girişik" diyebileceğimiz; felsefe, matematik ve bilimle uğraşmaktaydı. Yaşadığı dönemde ayrı olarak ele alınan geometri ve cebiri birleştirerek analitik geometriyi ortaya koydu. Descartes 1643 yılında Bohemya prensesi Elizabeth Stuart'a yazdığı bir mektupta, düzlemde birbirine teğet ve ayrık iç mekanlara sahip dört daire için dört yarıçapı birbirine bağlayan bir ilişkiden bahsetmiştir. Bu ilişki, dört eğriliği birbirine bağlayan bir ikinci dereceden denklem olarak yazılabilir.

Kartezyen koordinatları yeni keşfeden Descartes, Prenses'e sunduğu problemi çözebileceğini düşünmüş ancak çözememiştir. Problemi pratik olarak çözülebilir bir hale getirdiğinde ise problem, "Descartes Teoremi" olarak anılmaya başlamıştır. Bu teorem hem geçmiş matematikte bazı problemlere çözüm hem de gelecekteki gelişmelere ilham olmuştur.

Apollonius Problemi

Apollonius Problemi temelde, üç geometrik nesneye aynı anda teğet olan bir çember bulmaktır. Bu arayış birçok çalışmaya temel oluşturmuş, üç boyuta genellemeler ve daha fazlası incelenmiştir. Bu nesneleri üç çember olarak seçersek her bir teğetin türüne (iç ya da dış) göre farklılık gösteren sekiz çözüm sağlanacaktır. Bu problem üzerine düşünen Descartes, günümüzde Descartes Teoremi olarak anılan bir formül geliştirmiştir.

Descartes Teoremi

Descartes Teoremi, düzlemde birbirine teğet ve ayrık iç mekanlara sahip dört daire varsa eğriliklerinin (r, yarıçap olmak üzere) bi=1/ri için (b1+b2+b3+b4)²=2(b1²+b2²+b3²+b4²) bağıntısını sağladığını belirtir.

Descartes yapılandırmaları, Descartes (a) konfigürasyonunu ele alarak cebirsel olarak eşdeğer daha karmaşık bir ilişki gösterdi. Descartes'in ispatı eksikti. 1826'da Jakob Steiner sonucu bağımsız olarak buldu ve eksiksiz bir ispat sundu. Eksiksiz bir ispat içeren başka bir bağımsız keşif ise H. Beecroft tarafından yapıldı.

Bu teoremin kanıtsız ancak betimleyici bir şiirle ifadesi 1936'da, bir İngiliz bilim dergisi olan Nature'da yayımlandı. Yazar, izotoplar üzerine öncü çalışmalarıyla öne çıkan Frederick Soddy idi.

Bahsi geçen şiir şu şekilde:

"Kurallı Öpüşme
Dudak çiftlerinin öpüşmesi için belki
Gerekmez hiç trigonometri.
Ama bu böyle değildir dört çember için
Diğer üçüyle öpüştüğünde her biri."

Öpüşen dört çember olduğunda
En küçükler en eğri olanlardır.
Eğrilik ise sadece tersidir
Merkezden çembere kadar olan mesafenin.

Sonuç olarak, n boyutlu Öklid uzayı için iyi bilinen Descartes Teoremi'ni, n boyutlu küresel ve Minkowski uzayına genişlettik. Descartes konfigürasyonlarını karakterize eden ve formülasyonları için bu geometrilerin her birinde belirli bir koordinat sisteminin kullanılmasını gerektiren Descartes Teoremi'nin matris genellemesini sunmuş olup düzlemdeki daireleri, Öklid iç çarpımına sahip Minkowski uzayının vektörleri olarak gösterdik. Sonuç olarak bu güzel gerçeği, dairelerin kadim geometrisini modern uzay-zaman geometrisiyle ilişkilendirebildik.