Einstein 1915 yılında yaptığı yayınla, enerji-momentum ile uzay-zaman eğriliği arasında bir ilişki olduğunu ortaya koydu. Yani daha basit bir ifadeyle, madde ile geometri arasında sıkı bir ilişki bulunur. Madde, uzay-zamanı büker; bükülmüş uzay-zaman da maddeye jeodezikler boyunca hareket etmesi gerektiğini söyler. Bugün bunu ifade eden denklem setine, Einstein Alan Denklemleri denilmektedir.

Einstein Alan Denklemleri
Gik=8πG/c4Tik
Denklemin sol tarafında yer alan Gik ifadesi, Einstein tensörünü ifade ederken sağ tarafta yer alan Tik ifadesi stres-enerji (enerji-momentum) tensörünü ifade eder. Yani denklemin sol tarafı geometriyi, sağ tarafı ise maddeyi ifade etmektedir. Denklem sıklıkla aşağıdaki gibi yazılır:
Rik−1/2gikR+gik∧=8πG/c4Tik
Burada sol taraf Gik'nin açık halini ifade eder. Rik terimi Ricci eğrilik tensörü, gik metrik tensör, R eğrilik skaleri, Λ ise kozmolojik sabittir. Bazen Einstein alan denklemlerinin kozmolojik sabitsiz halini de görebilirsiniz.

Tek bir denklem gibi görünen bu denkleme neden Einstein alan denklemleri dendiğini indislerden anlayabilirsiniz. iii ve k için dörder tane seçenek olduğundan 4x4=16 farklı denklem olduğu ortaya çıkar. Fakat bunlardan altısı birbirinin aynıdır. Yani toplamda 16 denklem olması gerekirken simetriden ötürü (matriste üst üçgenseli düşünün), Einstein alan denklemlerinde yalnızca 10 tane farklı bileşeni bulunur. Seçtiğinizi metriğe göre ise elde ettiğiniz denklem sayısı azalır. Örneğin Schwarzschild çözümünde yalnızca 4 tane denklem ortaya çıkar.

Einstein Alan Denklemlerinin Çözümü
Aslında Einstein alan denklemleri, bize bir diferansiyel denklem seti verir. Mesele bu diferansiyel denklem setini çözerek tıpkı Newton'ın F=ma'sında olduğu gibi bir hareket denklemi elde edebiliriz. Yani Einstein alan denklemlerinin çözümünden, çözümü yapılan geometride maddenin davranışının ne olması gerektiği bulunur. Örneğin boş bir uzayda; dönmeyen, küresel simetrik, yüksüz bir karadelik için Schwarzschild çözümünü elde ederiz. Bu da böyle bir karadeliğin etrafındaki uzay-zamanı nasıl etkilediğini bulmamızı sağlar.

Elde edilen çözüm, koordinat tercihinizden bağımsızdır. Yani kartezyen koordinatları kullanarak yaptığınızda elde ettiğiniz çözüm ile küresel koordinatları kullanarak yaptığınızda elde ettiğiniz çözüm aynıdır. Dilerseniz başlangıçta koordinat dönüşümü yaparsınız, dilerseniz sonuçta dönüşüm yaparsınız. Aynı sonucu verecektir. Yalnızca burada seçtiğiniz metriğin matrisinin daima tersinin bulunuyor olması gerekir.

Einstein Alan Denklemlerinin Elementleri
Einstein alan denklemlerinde yer alan bu matematiksel yapılar, yalnızca soyut tensör ifadeleri değil; uzay-zamanın fiziksel doğasını doğrudan tanımlayan geometrik araçlardır. Özellikle Ricci tensörü ve eğrilik skaleri, uzay-zamanın yerel olarak nasıl büküldüğünü ifade ederken, metrik tensör bu geometrinin temelini oluşturur ve tüm fiziksel mesafe ile zaman ölçümlerini belirler. Christoffel sembolleri ise bu geometrinin içinde parçacıkların nasıl hareket edeceğini, yani jeodezikleri belirleyen bağlantı terimleridir. Bu yapıların tamamı birlikte ele alındığında, Einstein alan denklemleri aslında Riemann geometrisi üzerine kurulmuş diferansiyel bir geometri problemine dönüşür.

Sonuç olarak, Einstein alan denklemleri, madde ile uzay-zaman geometrisi arasındaki ilişkiyi kurarak modern fiziğin derin teorik çerçevelerinden birini sunar. Bu denklemler, klasik mekaniğin kuvvet temelli yaklaşımını terk ederek yerçekimini geometrik bir olgu olarak yeniden tanımlar. Tensörler aracılığıyla ifade edilen bu yapı, ilk bakışta son derece karmaşık görünse de simetriler ve fiziksel varsayımlar sayesinde çözülebilir hale gelir ve Schwarzschild, Kerr veya Friedmann gibi önemli çözümler elde edilir. Bu çözümler yalnızca teorik değil, aynı zamanda gözlemsel olarak da doğrulanmıştır; örneğin yerçekimsel dalgaların tespiti ve kara delik görüntüleri bu teorinin güçlü doğrulamalarındandır. Dolayısıyla Einstein alan denklemleri, hem matematiksel derinliği hem de fiziksel açıklayıcılığıyla evrenin yapısını anlamada vazgeçilmez bir araçtır.