Sırt üstü yatan bir kaplumbağanın çaresizliği her ne kadar hepimizi etkilese de görünürdeki risk faktörü olan kaplumbağanın sert kabuğunun, bir dezavantajdan çok avantaj olmasının sırrı matematikte yatmaktadır. Kaplumbağaları ters çevirip kendilerini düzeltmelerini izlemek, bazı matematikçilerin uzun zamandır teorize edilen üç boyutlu bir şeklin varlığının keşfedilmesine yardımcı olmuştur.

Doğrulma hareketi her zaman kaplumbağanın uzunluk ekseni etrafında, vücudun ortasındaki ana kesitin çevresi boyunca enine bir yuvarlanma yoluyla gerçekleşir. Bu nedenle, yuvarlanmanın geometrisi esasen düzlemseldir ve düzlemde kolayca gösterilebilir: Yatay bir yüzeyde yuvarlanan dışbükey, homojen bir disk.

Yatay bir çizgi (düzlem) üzerinde yuvarlanan sert disk, kaplumbağa kabuğunun enine kesitini temsil eder. Kalın-kesikli çizgi, yuvarlanma sırasındaki ağırlık merkezinin (G) yörüngesini gösterir. Yörüngenin ekstremum noktaları, cismin kararlı veya kararsız denge durumlarına karşılık gelir.

Sıradan bir yumurta hayal edelim. Yan yatırdığımızda biraz yuvarlanır ama sonunda durur. Hafifçe ittiğimizde tekrar yerine oturur. Biraz beceriyle iki ucundan birinin üzerinde dengede tutabiliriz. Ancak uzun süre dayanmaz, en ufak bir sarsıntı onu devirecektir. Burada yumurtanın iki ucu, kararsız denge noktaları olarak bilinir.

Peki bir cismin sahip olabileceği denge noktalarının kombinasyonu nedir? Gömböc'ü "imkansız" kılan noktalardan biri de budur. İki boyutta düşünürsek bir karenin dört kararlı denge noktası (karenin kenarlarının merkezleri) ve dört kararsız denge noktası (karenin köşeleri) vardır. Aynı durum üçgen için de üç kararlı ve üç kararsız denge noktası olmak üzere geçerlidir. Bir kararlı ve bir kararsız denge noktasına sahip olmak demek; bu şeklin, ağırlık merkezine imkansız taleplerde bulunacağı anlamına gelir.

Üç boyutlu uzayda da benzer durum geçerli olduğundan matematikçiler doğal olarak yalnızca bir kararlı ve bir kararsız denge noktasına sahip, üç boyutlu, dışbükey ve homojen bir cismin olmadığını varsaydılar.

Gömböc, yatay bir yüzeyde bir kararlı ve bir kararsız denge noktasına; dolayısıyla iki denge noktasına sahip bilinen ilk homojen cisimdir. Gömböc, rastgele bir konumda yatay bir yüzeye yerleştirildiğinde "weeble" oyuncakları; yani bildiğimiz hacıyatmaz oyuncakları gibi kararlı denge noktasına geri döner. Ancak bahsedilen oyuncakların dengesi, tabanındaki ağırlığa bağlı iken Gömböc homojen bir yapıda olduğu için şeklin kendi kendine denge durumuna gelmesini sağlar.

Gömböc tamamen sabit bir ağırlığa sahiptir. Düz bir yüzeye nasıl yerleştirilirse yerleştirilsin kendini düzeltir. Buna mono-monostatik şekil denir ve matematiksel bir teoriden doğmuştur.

Gömböc'ün ortaya çıkışı 1995 yılında, dünyaca ünlü Rus matematikçi Vladimir Igorevich Arnold; düz bir yüzey üzerinde dururken yalnızca bir kararlı ve bir kararsız denge noktasına sahip yani mono-monostatik olan dışbükey, homojen cisimler sınıfının var olması gerektiğini öne sürdü. Bu varsayım doğru çıktı ve 2006 yılında Macar bilim adamları Peter Varkonyi ve Gabor Domokos, üç boyutlu cisimlerin kararlı ve kararsız denge noktalarının sayısına göre sınıflandırılmasının önünü açtı. Varkonyi ve Domokos bu sınıfın varlığını önce matematiksel ve sonrasında da fiziksel bir örnek oluşturarak kanıtlamışlardır.

Domokos, bir Yunan adasında tatildeyken eşiyle 2000 plaj çakılı topladılar ve içlerinden birinin Gömböc gibi davranacağını umut ederek incelediler. Aradığını bulamayan Domokos şöyle söylemiştir: Çakıl taşı açısından çok ilginç şeyler öğrendik ancak Gömböc açısından hiçbir şey öğrenemedik. Yorgun ve moralsizdik. Bu çakıl taşlarına baktığınızda diğer tüm Yunan adalarına gitseniz bile Gömböc gibi davranan bir taşa asla rastlayamayacağınız hissine kapılıyordunuz. Ama neden olmasın? Eğer bu tür bir çakıl taşı yoksa bunun matematiksel bir nedeni olmalıydı.

Bu düşünce çizgisi önemli bir içgörüye yol açtı. Domokos ve meslektaşı Varkonyi, eğer bir Gömböc varsa bunun çok düz veya çok ince olamayacağını fark ettiler. Frisbee gibi düz bir cismin genellikle iki yüzü vardır ve her birinde birden fazla kararlı denge noktası bulunur. Kalem gibi ince bir cismin ise genellikle iki ucunda iki kararsız denge noktası bulunur ve bu nedenle o da bir Gömböc olamaz.

Domokos ve Varkonyi, bir Gömböc'ün düzlüğünün ve inceliğinin her ikisinin de 1'e eşit olması gerektiğini, yani her iki değerin de mümkün olan en küçük değer olması gerektiğini kanıtladılar. Bir Gömböc şeklini inceltir veya düzleştirirsek düzlük ve incelik değerleri artık minimum olmaktan çıkar. Dolayısıyla bu Gömböc, ekstra denge noktası kazandığı ve dışbükeyliğini kaybettiği için artık bir Gömböc olmayacaktır.

Dünyada Gömböc, temelde matematiğin en sevilen parçalarından biridir. Adı, Macarcada "küre" anlamına gelen "gömb" kelimesinden gelir. Ayrıca Macaristan'da, birkaç insanı yutan ve sonunda ağırlığı nedeniyle bir tepeden aşağı yuvarlanırken patlayan Gömböc adında insan biçimli bir varlık hakkında bir Macar halk masalı da vardır.

Gömböc modelleri 2007 yılından beri üretilmektedir. Her modelin kendine özgü bir seri numarası vardır. Her Gömböc parçası için ayrı ayrı aletler üretilmekte ve bunlar daha sonra kullanılmamaktadır. Numaralandırılmış ilk Gömböc modeli (Gömböc 001), Domokos ve Varkonyi tarafından; Gömböc' e ilham kaynağı olan Vladimir Igorevich Arnold'a, Ağustos 2007'deki 70. doğum günü vesilesiyle hediye olarak sunulmuştur. Şu anda Steklov Matematik Enstitüsü'nde sergilenmektedir. Ayrıca üretilmiş olan diğer tüm Gömböc modelleri için konumlarını bulabilmek amacıyla resmi bir Gömböc Haritası bulunmaktadır. Macarlar için bir gurur kaynağı olan bu modelin, Budapeşte'de 4,5 tonluk "Corvin Gömböc" adlı bir kopyası sergilenmektedir. Ağırlığının yanı sıra Gömböc Heykeli, termal genleşme nedeniyle 97 derece Fahrenheit (36 derece Celsius) sıcaklıkta uzunluğu 4851 milimetreye ulaşacak şekilde tasarlanmıştır. Burada Corvin Gömböc'ün kabuğunun uzunluğu, Vladimir Arnold'un çalışmasına bir göndermedir: 4851 sayısı, 97. eklaktik sayıdır. Bu tür sayılar Profesör Arnold'un dört köşeli teoremin genelleştirilmesi üzerine yaptığı çalışmalarda ortaya çıkmıştır.

Sonuç olarak Gömböc'ün keşfi sadece kendi başına önemli olmakla kalmadı, gelecekteki keşifler için de bir olasılıklar dünyasının kapılarını açtı.