Vektörler yönü ve büyüklüğü olan, yazarken üzerine bir ok işareti çizdiğimiz niceliklerdir. Örneğin hız, momentum ya da ivme vektörel niceliklerdir. Bunlarla ilgili bazı tuhaf gelen kurallar, vektör cebiri altında işlenir.

Örneğin A⃗ ve B⃗ birer vektörse A⃗+B⃗=B⃗+A⃗ denebilir. Bu zaten sezgilerimizin bize söylediği bir şeydir, çünkü şu zamana kadar karşımıza çıkan matematikte yaptığımız işlemler 3+5=5+3 gibi sezgisel işlemlerdi. Keza bir skalerle çarpma işleminde q(A⃗+B⃗)=qA⃗+qB⃗ oluyordu. Bunların hepsi sezgilerimizle uyumludur.

Vektör uzayının tanımlarını incelerken, oklarla gösterdiğimiz bildiğimiz vektörlerle olan ilişkilerine dikkat edin. Bazen öyle vektör uzayı örnekleri göreceksiniz ki, içeriğinin bir büyüklüğe ya da yöne sahip olup olmadığını sezgisel olarak ayırt edemeyeceksiniz. İlk olarak kuantum mekaniğinde kullandığımız dili tanıyalım. Dirac notasyonu ya da bra-ket notasyonu olarak adlandırdığımız bu gösterimde “|V⟩” ya da “⟨V|” şeklinde ifadeler göreceksiniz. Bunların ilki bra vektörü, ikincisi ise ket vektörü olarak adlandırılır.

Lineer Vektör Uzayları, herhangi iki vektör için vektör toplamı: |V⟩+|W⟩ ve herhangi bir skaler ile vektörün çarpımı: a|V⟩'dir. Bunlar ayrıca aşağıdaki özellikleri sağlarlar:

  • Vektör toplamı: |V⟩+|W⟩ = |W⟩+|V⟩ (Yer değiştirebilirlik)
  • Vektör toplamı: |V⟩+(|W⟩+|Z⟩) = (|V⟩+|W⟩)+|Z⟩ (Birleşebilirlik)

Bu noktaya kadar değindiğimiz her şey sezgilerimizin şu zamana kadar bize söyledikleriyle uyumludur. Fakat bunların ne anlama geldiklerini yorumlamaya çalışmamız önemlidir. Örneğin iki vektörü toplayıp bir skalerle çarpmanın onları ayrı ayrı bu skalerle çarpıp toplamakla aynı sonucu verdiğidir. Toplamanın sırası sonucu değiştirmez, işlem sırasında farklı vektörler oluşsa da sonuç aynıdır.

Eğer skalerler reel sayılardan oluşuyorsa uzayımız reel vektör uzayı, eğer kompleks sayılardan oluşuyorsa kompleks vektör uzayı olarak anılır. Ancak, bir vektör uzayının elemanlarının bu büyüklük ve yöne sahip olması gerekmeyebilir.