Yapılandırmacı matematik, klasik matematikten "vardır" ifadesinin "inşa edebiliriz" şeklinde yorumlanmasıyla ayrılır. Yapılandırıcı yaklaşımda, yalnızca varoluşsal niceleyiciyi değil; tüm mantıksal bağlaçları ve niceleyicileri bu mantıksal ifadeleri içeren bir önermenin kanıtını nasıl inşa edeceğimize dair talimatlar olarak yeniden yorumlamamız gerekir. Klasik matematikte önermeleri doğrulamak için onun değilini varsayarak ve ardından bu varsayımdan bir çelişki türeterek matematiksel ispat yapmak mümkündür. Ancak yapılandırmacı matematikte niceleyicileri doğrulamaya dayalı bir yol izlenmektedir.

Dışlanmış Orta İlkesi

Üçüncü Halin İmkansızlığı olarak da belirtilen Dışlanmış Orta İlkesi bize, bir p önermesiyle ilgili yalnızca iki olasılık olduğunu söyler; ya p doğrudur ya da p'nin olumsuzlaması (değili) doğrudur. Bu ilkeye göre ¬p'yi iddia etmek, p'nin bir çelişkiyi ima ettiğini göstermektedir. Ancak çoğu zaman matematikçilerin ne bir kanıtı ne de bir ispatı olacaktır. Bunu görebilmek için Goldbach Sanısı'nı düşünmek yeterli olacaktır: 2'den büyük her çift tam sayı, iki asalın toplamı olarak ifade edilebilir. Bu hipotez, 1742'de Goldbach'ın Euler'e yazdığı mektupta ilk kez ortaya atılmasından bu yana birçok matematikçinin çabalarına rağmen ne kanıtlanabilmiş ne de çürütülebilmiştir. Goldbach Sanısı, matematikteki eski ve en çok bilinen çözülmemiş problemlerden biridir. Bu gerçek, yapılandırmacı matematik yaklaşımını anlamamıza yardımcı olacaktır.

Mantığın Yapıcı Yorumu

Matematiğin tam anlamıyla hesaplamalı bir şekilde geliştirilmesi, klasik matematiğin dayandığı birçok yorumu olanaksız kılmaktadır. Yapıcı çalışmalar ortaya koyabilmek için klasik yorumlardan yapıcı yorumlara yönelmek gerekmektedir. Bu noktada matematikteki yapılandırmacılığın çeşidi diyebileceğimiz farklı yaklaşımlardan bahsetmek yerinde olacaktır.

Matematiksel Sezgicilik

Matematiksel sezgicilik, Hollandalı matematikçi Luitzen Egbertus Jan Brouwer tarafından ortaya atılan bir matematik felsefesi yaklaşımıdır. Brouwer, topolojide çığır açan çalışmalar yapan ve genç yaşta ünlenen parlak bir matematikçiydi. Hayatı boyunca bağımsız bir zihne sahipti ve bu özelliği onu birçok matematikçi, özellikle de David Hilbertle çatışmaya soktu. Brouwer 24 yaşında, solipsist içeriği matematik felsefesinin habercisi olan "Yaşam, Sanat ve Mistisizm" adlı kitabını yazdı.

Brouwer'ın felsefesinin temelini sezgiciliğin iki eylemi oluşturur. Brouwer yalnızca bu iki eylemden sezgisel matematik alanını yaratır. Bu noktada sezgicilik, matematiksel Platonizm'den ayrılır. Çünkü bizden bağımsız bir matematiksel gerçeklik varsaymaz. Dolayısıyla Brouwer'ın sezgiciliği diğer matematik felsefelerinden ayrı durur.

Sonuç

Matematikçilerin matematiğin yapıcı içeriğini analiz etmek için izlediği geleneksel yol, klasik mantığı takip eden yoldur; gerçek bir bilgisayar tarafından verilemeyen kararlardan kaçınmak için matematikçi, özyinelemeli fonksiyon teorisi gibi katı algoritmik sınırlar içinde kalmak zorundadır. Buna karşılık yapıcı matematikçinin izlediği yol, hesaplama açısından kabul edilemez kararları otomatik olarak ele alan sezgisel mantığı takip eder. Bu mantık, matematiği yapıcı sınırlar içinde tutmak için yeterlidir. Böylece matematikçi; bir analist, cebirci, geometrist veya diğer matematikçiler gibi doğal bir tarzda çalışmakta özgürdür.