Topoloji, iki nesne sürekli olarak birbirine dönüştürülebiliyorsa nesnelerin eşdeğer kabul edildiği bir matematik dalıdır. Parçalar uzayda; bükülme, dönme, gerilme ve büzülme gibi hareketlerle birbirine dönüşürken yırtılma veya birbirine yapışma gibi durumlara izin vermezler. Topolojinin temel ilgi alanları, sürekli deformasyonlar sonucunda değişmeden kalan bu özelliklerdir. Topoloji, geometrik olarak eşdeğer nesnelerin uzunluk veya açı gibi sayısal olarak ölçülebilen nicelikleri yönüyle geometriye benzer olmakla birlikte topolojik olarak eşdeğer nesnelerin daha fazla niteliksel olarak birbirine benzemesi yönüyle geometriden ayrılır.

Poincaré Varsayımı
Öncelikle, 20. yüzyılın büyük bir bölümünde Poincaré sanısı, topoloji alanına yön vermiştir. Bu varsayım temelde, bir şeklin topolojik bir 3-küre olup olmadığını nasıl belirleyeceğimizle ilgilidir. 1904 yılında Fransız matematikçi Henri Poincaré, üç boyutlu kürenin; tek ve basitçe bağlantılı üç boyutlu manifold olarak nitelendirilip nitelendirilmediğini sordu. Soruya göre; her kapalı üç boyutlu manifoldun, üç boyutlu küreye homeomorfik olduğu varsayılır. Poincaré varsayımı olarak bilinen bu soru, Thurston'ın geometrileştirme varsayımının özel bir durumuydu.

Thurston tarafından ortaya konan ve Grigori Perelman tarafından kanıtlanan "Geometrileştirme Teoremi" herhangi bir kompakt üç boyutlu bir manifoldun, her bir parçanın iç kısmının geometrik bir yapıya sahip olacak bir şekilde, temel küreler ve toruslar boyunca kesilebileceğini açıklar.

Poincaré, manifoldların sınıflandırılması üzerinde çalışırken üç boyutlu manifoldların bazı özel sorunlar yarattığını fark etti. Böylece bu sorunu, çözülmemiş en önemli problemlerden biri haline getirmiş oldu. Üç boyutlu bir manifold, eğri yüzey kavramının üç boyuta genelleştirilmesi ve soyutlanmasıdır. "Topolojik olarak eşdeğer olmak" yani homeomorfiklik ise iki küme arasında sürekli bir birebir eşleme olduğu anlamına gelir, bu da fonksiyon kavramının bir genellemesidir.

Topolojiyle İlgili Temel Kavramlar
Bazı durumlarda topolojide ele alınan nesneler, 3 boyutlu uzayda bulunan sıradan nesnelerdir. Örneğin düzlemdeki basit bir halka ve düzlemdeki bir karenin kenarı, topolojik olarak birbirine eşdeğerdir; halkayı, karenin etrafına tam olarak oturabilecek bir lastik olarak hayal edebiliriz. Öte yandan bir kürenin yüzeyi, katı bir halka olan torusun yüzeyiyle topolojik olarak eşdeğer değildir. Bunu görmek için sabit bir küre üzerinde bulunan herhangi bir küçük halkanın küre üzerinde tutulurken keyfi olarak sürekli olarak küçültülebilir. Bu özelliğe sahip bir nesneye, daha önce kullandığımız "basitçe bağlantılı" denir. Basitçe bağlantılı olma özelliği, sürekli bir deformasyon altında korunan bir özelliktir. Bununla birlikte bir torus üzerindeki bazı halkalar küçültülemez. Yani torus, basitçe bağlantılı değildir.

Topolojik eşdeğerlik, belirli bir ortam uzayında, bir nesneden diğerine sürekli bir deformasyon gerçekleştirilebiliyorsa iki nesnenin o uzaya göre izotopik olduğu söylenebilir. Örneğin, bir daire ve dairenin içinde izole edilmiş bir noktadan oluşan bir nesneyi ele alalım. İkinci bir nesne olarak ise bir daire ve dairenin dışında ancak daireyle aynı düzlemde izole edilmiş bir noktadan oluşan nesneyi varsayalım.

İki boyutlu bir ortam uzayında, bu iki nesne birbirine sürekli olarak deforme edilemez. Çünkü izole edilmiş noktaların geçmesine izin vermek için dairelerin kesilmesi gerekir. Bununla birlikte üç boyutlu uzay, ortam uzayı olarak hizmet ediyorsa sürekli bir deformasyon gerçekleştirilebilir. Dolayısıyla belirlediğimiz bu iki nesne, iki boyutlu uzaya göre izotopik olmazken üç boyutlu uzaya göre izotopiktir.

Nesnelerin, daha büyük bir ortam uzayı içinde izotopik olması, bu nesnelerin yerleştirildiği uzayın önemini vurgular ve aynı zamanda dışsal topolojik eşdeğerlik kavramını ortaya koyar. Örneğin; üç boyutlu bir uzayda düğüm şeklinde bağlanmış kapalı bir ip halkası, soyut dört boyutlu bir uzayda çözülebilirdir. Düğüm Teorisi'nde, düğümler bir segmentin uçlarının kusursuz bir şekilde birleştirilerek kapalı bir döngü oluşturulmasıyla meydana gelir. Düğümler daha sonra segmentin kendisini kaç kez ve nasıl kestiğiyle karakterize edilir.

Homeomorfizm
Topolojik eşdeğerliğin, içsel bir tanımı homeomorfizm olarak bilinen özel bir fonksiyon türünü içerir. Eğer hhh fonksiyonu bir homeomorfizmdir ve XX X ve YYY nesneleri birbirine homeomorfiktir denirse; hhh, süreklidir. Yani komşuluklar korunur. Sürekli bir ters fonksiyon h−1 mevcut olacaktır.

Poincaré Varsayımı'nın İspatına Genel Bir Bakış
1904 yılında Fransız matematikçi Henri Poincaré'in ortaya attığı varsayım için Grigori Perelman'ın ispatı bize, her üç boyutlu manifoldun; her biri iyi bilinen sekiz geometriden birine sahip standart parçalardan oluşan bir kümeden inşa edildiğini söylemektedir.

Bu sorunun Henri Poincaré tarafından 1904'te formüle edilmesinden bu yana, yaklaşık yüz yıl sonra Grigori Perelman tarafından 2002-2003 yıllarında ispatı yayınlanmıştır. Perelman'ın çözümü Richard Hamilton'ın Ricci akışı teorisine dayanıyordu ve Cheeger, Gromov ve Perelman'ın kendi metrik uzayları sonuçlarından yararlanıyordu. Bu makalelerle Perelman ayrıca William Thurston'ın "Geometrizasyon Varsayımı"nı da kanıtlamış oldu.