Yunus Akgün, Galatasaray'ın altyapısında futbola başladı ve 5 Ağustos 2018'de Akhisarspor'la oynanan TFF Süper Kupa karşılaşmasıyla ilk profesyonel maçına çıktı. Şu ana kadar Galatasaray'da toplamda 99 resmi müsabakada forma giyen Yunus, 18 gol kaydetti. Bu sezon en golcü dönemini yaşıyor ve toplamda 12 gol attı, bunların 7'si Süper Lig ve 5'i UEFA Avrupa Ligi'nde.

Okan Buruk'un vazgeçilmezlerinden biri haline gelen Yunus, bu sezon 38 maçta sahaya çıktı. Geçen sezonu İngiltere'nin Leicester City takımında kiralık geçiren Yunus, burada 29 maçta 2 gol kaydetti. Adana Demirspor'daki kiralık dönemleri, kariyerinin önemli dönüm noktalarından biri oldu; burada 2021-2022 sezonunda 38 maçta 9 gol attı. A Milli Takım'da da Vincenzo Montella'nın tercihi oldu ve 9 kez forma giydi, 14 maçta 2 gol kaydetti.