Modüler formlar, yüzyıllardır matematikçilerin ilgisini çekmiştir. Çoklu yapıları sayesinde, matematiğin çeşitli alanları arasında bir köprü oluştururlar. Modüler formlar; analiz araçları, Sayı Teorisi yapıları veya Galois Teorisi kullanılarak tanımlanabilir. Bununla birlikte görselleştirilmeleri zorlu bir görev olmaya devam etmektedir. Burada zorluk, dört boyutlu bir uzayı sezgisel olarak hayal edememekten kaynaklanmaktadır. Bu makalede, belirli modüler formların uzayda nasıl davrandığını grafiksel olarak göstereceğiz. Nihai hedef; estetik düşünceyi, matematiksel titizlikle birleştirebilecek Escher benzeri bir modüler form temsili oluşturmaktır.

Dedekind Eta Fonksiyonuna Dayalı Modüler Diskriminant

Modüler formlar, Karmaşık düzlemin (C) bir bölümünden (üst yarım düzlemi) C'ye yapılan uygulamalardır. C, 2 boyutlu bir vektör uzayı olduğundan 4 boyutlu uzayları temsil etmemiz gerekir. 4 boyutlu uzayın temsili sorunu, matematikçiler için merkezi bir konu olmuştur. Bu temsilin iki standart yolu vardır; birincisi renkleri kullanmak, ikincisi ise uzaya özgü topolojik özellikleri kullanmaktır. Bu iki yöntem arasındaki farkı bazı yaygın fonksiyonların (kimlik fonksiyonu, üstel fonksiyon ve bazı modüler formlar) grafiği ile göstereceğiz:

Kimlik fonksiyonu

Üstel fonksiyon

Modüler formda bir Eisenstein Serisi

Daha sezgisel olduğunu düşündüğümüz ve temel etki alanını daha net bir şekilde temsil etmemizi sağladığı için sonraki görselleştirmelerde renkleri kullanacağız.

Biraz Teori

Tanım: Modüler bir form C'nin üst yarım düzleminden C'ye aşağıdaki özelliklere sahip holomorfik bir uygulamadır:
f(az+b/cz+d)=(cz+d)^k f(z)

Burada k, genellikle ağırlık olarak adlandırılan sabit bir değerdir.

Karmaşık Analizden Notlar

Tanım: Ω, C'nin bir alt kümesi olmak üzere Ω→C üzerinde tanımlanan f, aşağıdaki koşulu sağlıyorsa holomorf olarak adlandırılır:

lim⁡(z→z₀) f(z)−f(z₀)/z−z₀ mevcuttur ∀z₀∈Ω

Önerme: Tüm modüler formlar periyodiktir. İspat: f bir modüler form olmak üzere, T matrisini alarak f(z+1)=f(z) olduğu kolayca görülebilir. Bu da f'nin periyodikliğini kanıtlar.

Mobius Dönüşümleri

Mobius dönüşümleri, f(z)=az+b/cz+d olacak şekilde karmaşık izdüşüm çizgisinin izdüşümsel dönüşümleridir. Bunlar izdüşümsel doğrusal PGL Mobius Grubu adı verilen bir grup oluştururlar.

Önerme: Mobius dönüşümleri birbirinden farklı 3 nokta tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir.

Önerme: Özdeşlik olmayan her Mobius dönüşümü en fazla 2 sabit noktaya sahiptir.

Temel Etki Alanı

Temel etki alanı; D⊂X altında D dönüşümlerinin birleşimidir. Modüler formların temel tanım kümesi; F={z∈C:∣Re(z)∣≤12,∣z∣≥1} şeklindedir. Bu, modüler formlarımızın yalnızca bir periyodunu temsil etmemize olanak sağlar.

Modüler Formların Bir Escher Eseri Olarak Temsil Edilmesi

Geldiğimiz noktada periyodik modüler formlarımızın Escher litografisine benzer resimlere dönüşebildiğini görebiliyoruz. Escher eserlerinin büyük çoğunluğu periyodiklik ve simetriler üzerine kuruludur. Bu durumda modüler formlarımızın simetrileri ile Escher eserlerindeki simetriler arasında benzerlikler bulunmaktadır.