Burhan Felek, 11 Mayıs 1889'da evkaf memuru Mahmut Ziya ile Fatma Naciye'nin çocuğu olarak Üsküdar'da dünyaya geldi. Felek, ilk öğrenimine, Ravza-i Terakki adlı özel bir okulda başladı. Mezun olduktan sonra, Üsküdar Mülkiye İdadisine girerek bu okuldan birincilikle mezun oldu. Liseyi de ikincilikle bitiren Felek, 1907'de İstanbul Hukuk Fakültesine girdi. Fakültede, Talebe-i Hukuk Cemiyetinin kuruluş çalışmalarına katılan Felek, bir süre derneğin genel sekreterlik görevini yürüttü.

Gazeteciliğe "amatör" olarak 1909 yılında İdman dergisinde başlayan Felek, 1910'da Donanma dergisinde profesyonelliğe adım attı. 1918 yılında Tasvir-i Efkar gazetesinde spor ve foto muhabiri olarak çalışmaya başladı. Felek, mesleğine, Tetebbu, Tasvir-i Efkar, Tevhid-i Efkar, Vakit, Vatan, Yeni Ses, Milliyet, Tan, Cumhuriyet ve tekrar Milliyet gazetesinde vefatına kadar devam etti. 72 yıl aralıksız sürdürdüğü gazetecilik kariyerinde, Uluslararası Basın Enstitüsü kanıtıyla en kıdemli yazar anlamında "Şeyhül Muharririn" unvanını aldı. 1949 yılında Türkiye Gazeteciler Cemiyeti başkanlığına getirilen Felek, toplamda 26 yıl bu görevi sürdürdü.

Burhan Felek, Türk sporunda da uzun yıllar yöneticilik görevinde bulundu. Balkan ve Akdeniz Oyunları kurucularından olan Felek, 1924 ve 1928 Olimpiyat Oyunları'nda yöneticilik yaptı. Türkiye Milli Olimpiyat Komitesinin kurucuları arasında yer aldı ve 21 yıl süreyle TMOK Başkanlığı yaptı. Felek, spor dünyasına sağladığı katkılardan dolayı "Olimpik Merit Nişanı" ile ödüllendirildi.

8 Mayıs 1980'de İstanbul Üniversitesi Senatosunun, "fahri doktorluk" unvanı verdiği Felek, 4 Kasım 1982'de İstanbul'da vefat etti. Fransa hükümeti ölümünden sonra Felek'e, "Legion d'honneur" nişanını layık gördü. Üsküdar'da bulunan spor tesislerine Burhan Felek'in ismi verildi.